«Մաթեմաթիկական ապացոյց» խմբագրումներու միջեւ տարբերութիւն

Content deleted Content added
No edit summary
No edit summary
Տող 8.
|accessdate=September 26, 2008
}}</ref>]]
 
 
 
Մաթեմաթիկական ապացոյցը մաթեմաթիկական պնդման համար տրամաբանական փաստարկ է, որ ցուց կու տայ, որ նշուած դատողութիւնները տրամաբանօրէն կ'երաշխաւորեն եզրակացութիւնը: Փաստարկը կարելի է օգտագործել նախկին դուրս բերուած այլ պնդումներ, ինչպիսիք թեորեմներն են, սակայն իւրաքանչիւր ապացոյց սկզբունքօրէն, կարելի է կառուցուել՝ օգտագործելով միայն որոշ հիմնական կամ նախնական ենթադրութիւններ, որոնք յայտնի են որպէս աքսիոմներ,<ref>{{cite book |author1=Clapham, C. |author2=Nicholson, JN. |lastauthoramp=yes | title = The Concise Oxford Dictionary of Mathematics, Fourth edition |quote = A statement whose truth is either to be taken as self-evident or to be assumed. Certain areas of mathematics involve choosing a set of axioms and discovering what results can be derived from them, providing proofs for the theorems that are obtained.}}</ref><ref name="nutsandbolts">{{cite book|title=The Nuts and Bolts of Proofs: An Introduction to Mathematical Proofs |last=Cupillari |first=Antonella |edition=Third |year=2005 |orig-year=2001 |publisher=[[Academic Press]] |isbn=978-0-12-088509-1 |page=3}}</ref><ref>{{cite book|title=Discrete Mathematics with Proof |date=July 2009 |first=Eric |last=Gossett |page=86 |quote=Definition 3.1. Proof: An Informal Definition |publisher=[[Wiley (publisher)|John Wiley & Sons]] |isbn=978-0470457931}}</ref> մտահանգման ընդունելի կանոններով։ Ապացոյցները ողջամիտ ակնկալիքը հաստատող, սպառիչ (deductive) հիմնաւորման օրինակներ են, որոնք տրամաբանական որոշակիութիւն կը ստեղծեն, որոնք կը տարբերուին (empiric) փորձական փաստարկներէն կամ ոչ սպառիչ մակածութիւնը (induction)պատճառաբանութիւնէն։ Չհաստատուած ենթադրութիւնը, որու վերաբերեալ կարծիք կայ, որ ճիշտ է, յայտնի է որպէս վարկած, կամ ենթադրութիւն (hypothesis), հետագայ մաթեմաթիկական մտահանգումներու համար, յաճախ կ'օգտագործուի որպէս ենթադրութիւն<ref name=":0">{{Cite web|url=https://mathvault.ca/math-glossary|title=The Definitive Glossary of Higher Mathematical Jargon|last=|first=|date=2019-08-01|website=Math Vault|language=en-US|access-date=2019-10-20}}</ref>։
 
Ապացոյցները, բնական լեզուի հետ մէկտեղ, որոնք սովորաբար երկիմաստութիւն կը պարունակեն, կ'օգտագործեն որոշակի տրամաբանութիւն արտայայտող մաթեմաթիկական սիմվոլներ։ Ապացոյցներու տեսութեան մէջ կը դիտարկուին առանց բնական լեզուի օգտագործման, սիմվոլիկ լեզուով գրուած, լիովին ֆորմալ ապացոյցները։ Ֆորմալ ևեւ ոչ ֆորմալ ապացոյցներու տարբերութիւնը բերած է ընթացիկ ևեւ պատմական մաթեմաթիկական փորձառութեան քննութեան՝ քվազի-էմփիքրիզմին մաթեմաթիկայի մէջ, ևեւ այսպէս կոչուած ժողովրդական մաթեմաթիկային, հիմնական մաթեմաթիկան հանրութեան ևեւ այլ մշակոյթներու մէջ բանաւոր աւանդոյթներուն։
Մաթեմատիկայի փիլիսոփայությունը կապուած է ապացույցներու մէջ լեզուի ևեւ տրամաբանութեան դերին ևեւ մաթեմաթիկային որպէս լեզու։
 
 
== Պատմութիւն ևեւ ստուգաբանութիւն ==
Տե՛ս նաև՝նաեւ՝ History of logic
«Վստահութիւն» իրաւական թերմինը կը նշանակէ հեղինակութիւն կամ հաւաստիութիւն՝ փաստեր ապացուցելու համար, հեղինակութիւն կամ կարգավիճակ ունեցող անձանց կողմէն տրուած վկայութեան ուժ:<ref>{{cite book|title = The Emergence of Probability: A Philosophical Study of Early Ideas about Probability, Induction and Statistical Inference|first = Ian|last = Hacking|author-link=Ian Hacking |publisher = [[Cambridge University Press]] |year= 1984|orig-year=1975 |isbn=978-0-521-31803-7|url = https://en.wikipedia.org/wiki/The_Emergence_of_Probability}}</ref>
 
Խիստ մաթեմաթիկական ապացոյցներուն նախորդեր են նմանութեան փաստարկները, ինչպիսիք են նկարները ևեւ անալոգիաները։<ref name="Krantz">[http://www.math.wustl.edu/~sk/eolss.pdf The History and Concept of Mathematical Proof], Steven G. Krantz. 1. February 5, 2007</ref> Հաւանաբար, եզրակացութեան գաղափարը առաջացեր է երկրաչափութեան հետ կապուած, որ ծագեր է հողերու չափման գործնական խնդիրներէն։<ref>{{cite book|title=The development of logic |first1=William |last1=Kneale |first2=Martha |last2=Kneale |author-link1=William Kneale (logician) |date=May 1985 |orig-year=1962 |page=3 |edition=New |publisher=[[Oxford University Press]] |isbn=978-0-19-824773-9}}</ref>Մաթեմաթիկական ապացոյցի զարգացումը առաջին հերթին հին յունական մաթեմաթիկայի արգասիքն է ևեւ անոր ամենամեծ նուաճումներէն մէկը։<ref>{{Cite web|url=https://hal.archives-ouvertes.fr/hal-01281050/document|title=The genesis of proof in ancient Greece The pedagogical implications of a Husserlian reading|last=Moutsios-Rentzos|first=Andreas|last2=Spyrou|first2=Panagiotis|date=February 2015|website=Archive ouverte HAL|access-date=October 20, 2019}}</ref>Թալեսը (Ք.Ա. 624–546) ևեւ Հիփոքրաթ Քիոսը (Hippocrates of Chios) (Ք.Ա. 470–410) տուին երկրաչափութեան թէորեմներու առաջին յայտնի ապացոյցները: Եվդոքսը (Ք.Ա. 408–355) ևեւ Թեետետոսը (Ք.Ա.. 417–369) ձևակերպերձեւակերպեր են թէորեմներ, բայց ատոնքք չեն ապացուցեր: Արիսթոթելը (Ք.Ա. 384–322) կ'ըսէր, որ սահմանումները պէտք է նկարագրեն հասկացութիւնը, որ կը սահմանէ արդէն յայտնի միւս հասկացութիւններու միջոցով:
 
Մաթեմաթիկական ապացոյցը յեղփոխականացուեցաւ Էվկլիդեսի կողմից (Ք.Ա․300), որ մտցուց աքսիոմաթիկ մեթոտ, որ մինչեւ այսօր կ'օգտագործուի։ Այն կը սկսի չսահմանուած հասկացութիւններէն ևեւ աքսիոմներէն, կ'ենթադրուի որ չսահմանուած թերմինները ինքնին ակնյայտ է որ ճիշտ են (յունարէն "axios", ինչ որ արժէքաւոր բան)։ Այս հիմքի վրայ մեթոտը օրէնքները կ'ապացուցէ օգտագործելով deductive նուացեցման տրամաբանութիւն։ Էւկլիտեսի Տարրեր գիրքը մինչևմինչեւ 20-րդ դար կը կարդար իւրաքանչիւրը, որ կը համարուէր կրթուած։<ref>{{cite book|title=An Introduction to the History of Mathematics (Saunders Series) |first=Howard W. |last=Eves |authorlink=Howard Eves |edition=6th |date=January 1990 |orig-year=1962 |page=141 |quote=No work, except The Bible, has been more widely used... |publisher=[[Cengage|Brooks/Cole]] |isbn=978-0030295584}}</ref> Ի յաւելումն երկրաչափական օրէնքներու, ինչպիսին Փիւթակորի օրէնքն է, Տարրերը նաևնաեւ կը ծածկէր թիւերու տեսութիւնը, ներառեալ, որ քառակուսի արմատ երկուքէն իռացիոնալ է ևեւ ապացոյցը այն բանի որ պարզ թիւերու քանակը անվերջ է։
 
Հետագայ առաջընթացներ տեղի ունեցան միջնադարեան իսլամական մաթեմաթիկայի մէջ։ Մինչ վաղ յունական ապացոյցները հիմնականին կը կրէին երկրաչափական ցուցադրութիւններ, մահմետական մաթեմաթիկոսներու կողմէն թուաբանութեան ևեւ հանրահաշուի զարգացումը աւելի ընդհանուր ապացոյցներ կ'օգտագործէին, անկախ երկրաչափական մտատեսութիւնէն (intuition)։ 10-րդ դարու Իրաքեան մաթեմաթիկոս Al-Hashimi-ն թիւերու հետ կ'աշխատէր որպէս շարքեր ևեւ հանրահաշուական գործողութիւններ պարունակող առաջադրանքները, ներառեալ անտրամաբանական թիւերու գոյութիւնը, ապացուցելու համար, անպայման չէ երկրաչափական առարկաներու չափումներ կատարել։<ref>{{citation|last=Matvievskaya|first=Galina|year=1987|title=The Theory of Quadratic Irrationals in Medieval Oriental Mathematics|journal=[[New York Academy of Sciences|Annals of the New York Academy of Sciences]]|volume=500|issue=1|pages=253–77 [260]|doi=10.1111/j.1749-6632.1987.tb37206.x|bibcode=1987NYASA.500..253M}}</ref>Ալ-Ֆաղրիում (1000) Ալ-Քարաճին մակածութեան (induction) մեթոտը օգտագործեց թուաբանական յառաջատուութեան համար։ Ան այն օգտագործեց նաևնաեւ (binomial theorem) երկրաբաշխական օրէնքը ապացուցելու ևեւ Փասքալի եռանկեան յատկութիւններու համար։ Ալ հազենը ապուցուցման եղանակները զարգացուց "հակառակ ենթադրութիւնէն ապացոյցով", որպէս առաջին փորձ կիրառելով այն եւկլիտեան (Euclidian) երկրաչափութեան զուգահեռութեան յառաջադրութիւնը կամ ենթադրութիւնը (postulate) ապացուցելու համար։<ref>{{Citation |last=Eder |first=Michelle |year=2000 |title=Views of Euclid's Parallel Postulate in Ancient Greece and in Medieval Islam |url=http://www.math.rutgers.edu/~cherlin/History/Papers2000/eder.html |publisher=[[Rutgers University]] |accessdate=January 23, 2008 }}</ref>
 
Ժամանակակից ապացուցներու տեսութիւնը ապացոյցները կը դիտարկէ որպէս մակածութեան (induction) սահմանուած տուեալներու կառուցուածք, որոնք չեն պահանջեր աքսիոմներու ճշմարիտ լինելը որևէորեւէ իմաստով։ Այս թոյլ կու տայ զուգահեռ օգտագործել զուգահեռ մաթեմաթիկական տեսութիւններ որպէս տուած մտատեսութիւն (intuition) հասկացութեան ֆորմալ մոտելներ, որոնք հիմնուած են աքսիոմաներու (alternative) փոխընտրութիւն բազմութեան վրայ, օրինակ, բազմութիւններու աքսիոմաթիկ տեսութիւն ևեւ Ոչ-եւկլիտեան (Euclidian) երկրաչափութիւն։
 
== Էութիւն ևեւ նպատակ ==
Գործնականի ապացոյցը կ'արտայայտուի բնական լեզուով ևեւ պնդման ճշմարտութեան մէջ համոզելու համար խիստ փաստարկ է։ Խստութեան չափանիշը standard չէ ևեւ պատմութեան ընթացքին փոփոխութիւններու ենթարկուեր է։ Կախուած ենթադրուող լսարանէն ապացոյց տարբեր կերպ կարող է ներկայացուիլ։ Որպէսզի լսարանի կողմէն ապացոյցն ընդունուի, այն պէտք է համապատասխանէ խստութեան ընդունուած չափանիշներուն, անորոշ կամ ոչ լրիւ փաստարկները հնարաւոր է մերժուին։
 
Ապացոյց հասկացութիւնը ձևաւորուերձեւաւորուեր է մաթեմաթիկական տրամաբանութեան ոլորտի մէջ։ <ref>{{citation|title=Handbook of Proof Theory|volume=137|series=Studies in Logic and the Foundations of Mathematics|editor-first=Samuel R.|editor-last=Buss|editor-link=Samuel Buss|publisher=Elsevier|year=1998|isbn=978-0-08-053318-6|contribution=An introduction to proof theory|pages=1–78|first=Samuel R.|last=Buss|authorlink=Samuel Buss}}. See in particular [https://books.google.com/books?id=MfTMDeCq7ukC&pg=PA3 p.&nbsp;3]: "The study of Proof Theory is traditionally motivated by the problem of formalizing mathematical proofs; the original formulation of first-order logic by Frege [1879] was the first successful step in this direction."</ref>Ֆորմալ ապացոյցը կը գրուի ֆորմալ լեզուով։ Ֆորմալ ապացոյցը այդ ֆորմալ լեզուով գրուած բանաձևերուբանաձեւերու յաջորդականութիւն է, որ կը սկսի ենթադրութիւնէն, ևեւ իւրաքանչիւր յաջորդ բանաձևըբանաձեւը նախորդներու տրամաբանական հետևութիւննհետեւութիւնն է։ Այս սահմանումը ապացոյցը կը դարձնէ ուսումնասիրութեան առարկայ: Իսկապէս, ապացոյցներու տեսութեան ոլորտը կ'ուսումնասիրէէ ձևականձեւական ապացոյցները ևեւ ատոնց յատկութիւնները, որոնցմէ ամենայայտնի ևեւ զարմանալին այն է, որ համարեայ բոլոր աքսիոմաթիք համակարգերը կարող են առաջացնել որոշակի չհիմնաւորուած պնդումներ, որոնք համակարգէն ներս ապացուցելի չեն:
 
Ֆորմալ ապացոյցի սահմանումը նպատակ ունի ընդգրկել ապացոյցներու հայեցակարգը այնպէս, ինչպէս ընդունուած է մաթեմաթիքայի (practice) կիռարութեան մէջ: Այս սահմանման հիմնաւորումը կ'ենթադրէ, որ հրապարակուած ապացոյցը սկզբունքօրէն կարող է վերաձևակերպուիլվերաձեւակերպուիլ ֆորմալ ապացոյցի։ Սակայն բացի ինքնագործ (automatic) ապացոյցի օգնականի կիրառումէն, այս (practice) կիռարութիւնը հազուադէպ կը հանդիպի։ Փիլիսոփայութեան դասական հարցն է՝ մաթեմաթիկական ապացոյցները արդեօք վերլուծական են, թէ (synthetic) համադրական կամ բաղադրական , '''Քանթը''', որ մտցուց վերլուծական-համադրական (analytic)-(synthetic) տարբերութիւնը, կը կարծէր, որ մաթեմաթիկական ապացոյցները (synthetic) համադրական են, մինչդեռ '''Քուէ'''նը 1951 թուականին իր «Էմփիրիզմի երկու տոկմա» աշխատութեան մէջ կը պնդէր, որ այդպիսի տարբերակումը անթոյլատրելի է։<ref>{{Cite web|url=https://www.theologie.uzh.ch/dam/jcr:ffffffff-fbd6-1538-0000-000070cf64bc/Quine51.pdf|title=Two Dogmas of Empiricism|last=Quine|first=Willard Van Orman|date=1961|website=Universität Zürich — Theologische Fakultät|page=12|access-date=October 20, 2019}}</ref>
 
Ապացոյցները կարող են հիացնել իրենց մաթեմաթիկական գեղեցկութեամբ։ Մաթեմաթիկոս Փոլ Էրտիոսը յայտնի էր յատկապես էլեկանթ ապացոյցները նկարագրելու համար, որ կը վերցնէր վարկածական կամ ենթադրական (hypothetic) "The Book" հատորէն, որ իւրաքանչիւր օրէնքի (theorem) ամենագեղեցիկ ապացոյցը կը պարունակէր։ Proofs from THE BOOK գիրքը, հրապարակուերէ 2003 թուականին ևեւ նուիրուած է 32 ապացոյցներու ներկայացմանը, որոնք անոնց խմբագիրները յատկապես գեղեցիկ կը համարեն:
 
== Մեթոդներ ==
=== Ուղիղ ապացույց ===
Ուղիղ ապացոյցի մէջ եզրակացութիւնը դուրս կը բերէ տրամաբանօրէն զուգակցելով աքսիոմները, սահմանումները ևեւ վաղ օրէնքները։<ref>Cupillari, p. 20.</ref> Օրինակ, ուղիղ ապացոյցը կարող է օգտագործուիլ ապացուցելու որ երկու զոյգ թիւերու գումարը միշտ զոյգ է։
 
Ենթադրենք x ևեւ y զոյգ թիւեր են։ Քանի որ անոնք զոյգ են, ապա կարող են ներկայացուիլ x = 2a ևեւ y = 2b, ուր a ևեւ b ամբողջ թիւեր են։ Ուստի x + y = 2a + 2b = 2(a+b). Այսպիսով x+y ունի 2 գործակից ևեւ ըստ սահմանման զոյգ է։ ՀետևաբարՀետեւաբար երկու զոյգ թիւերու գումարը զոյգ է։
Այս ապացոյցը կ'օգտագործէ զոյգ թիւերու սահմանումը, գումարման, բազմապատկման ևեւ բաշխելիութեան նկատմամբ ամբողջ թիւերու բազմութեան փակ ըլլալը։
 
=== Ապացոյց մաթեմաթիկական մակածութեանի (induction) միջոցով ===
Տող 48 ⟶ 49՝
Հիմնական յօդուած՝ Մաթեմաթիկական մակածութիւն (induction)
 
Հակառակ անուանումին, մաթեմաթիկական մակածութիւնը (induction) deduction մեթոտ է, ոչ թէ մակածութեան (induction) մտահանգման ձև։ձեւ։ Մաթեմաթիկական մակածութեանի (induction) միջոցով կ'ապացուցուին "եզակի դէպքը" կ'ապացուցուի ևեւ "մակածութեան (induction) կանոնը", որ կը հաստատէ իւրաքանչիւր պատահական դէպքի իրաւացիութիւնը կ'ենթադրէ յաջորդի իրաւացիութիւնը։ Քանի որ մակածութեան (induction) կանոնը կարելի է կիրառել բազմակի, ուստի բոլոր անվերջ դէպքերը ապացուցելի են։<ref>Cupillari, p. 46.</ref> Այսպէսով կը խուսափինք իւրաքանչիւր դէպքն առանձին ապացուցելու անհրաժեշտութիւնէն։ Մաթեմաթիկական մակածութեան (induction) տարբերակ է անվերջ նուազման եղանակով ապացոյցը, որ կարող է օգտագործուիլ, օրինակ, երկուքի քառակուսի արմատի (irrationalism) անտրամաբանական տեսութիւնը ապացուցելու համար։<ref name=":0" />
 
Մաթեմաթիկական մակածութեան (induction) միջոցով ապացոյցի յաճախ հանդիպող կիրառումը այն է՝ ապացուցել, որևէորեւէ բնական թիւի համար յայտնի որևէորեւէ յատկութիւն, ճշմարիտ է նաևնաեւ բոլոր բնական թիւերու համար։
Թիւի մը ։<ref>[http://zimmer.csufresno.edu/~larryc/proofs/proofs.mathinduction.html Examples of simple proofs by mathematical induction for all natural numbers]</ref>
Ենթադրենք {{math|1='''N''' = {1,2,3,4,...}}} բնական թիւերու բազմութիւն է, ևեւ {{math|''P''(''n'')}} մաթեմաթիկական կը պնդէ, որ տեղի ունի {{math|''n''}} բնական թիւի համար {{math|'''N'''}} բազմութիւնէն, այնպէս որ such that
* '''(i)''' {{math|''P''(1)}} ճիշտ է, այսինքն, {{math|''P''(''n'')}} ճիշտ է {{math|1=''n'' = 1}}-ի համար։
* '''(ii)''' {{math|''P''(''n''+1)}} ճիշտ է, երբ {{math|''P''(''n'')}} ճիշտ է, այսինքն, {{math|''P''(''n'')}} ճիշտ ըլլալէն հետեւութիւն կ'ընենք, որ {{math|''P''(''n''+1)}} ճիշտ է։