«Տարբերական հաւասարումներ» խմբագրումներու միջեւ տարբերութիւն
Content deleted Content added
Նոր էջ « thumb|350px|Ջերմափոխականութեան արտացոլումը Մաթեմաթիքայի մէջ տարբերական հաւ...»: |
No edit summary |
||
Տող 2.
[[Պատկեր:Elmer-pump-heatequation.png|thumb|350px|Ջերմափոխականութեան արտացոլումը]]
Մաթեմաթիքայի մէջ տարբերական հաւասարումը հաւասարութիւն է , որը կը վերաբերի մէկ կամ քանի մը գործառնութիւններուն կամ կախարկութիւններուն եւ ատոնց ածանցեալներուն:<ref name="Zill2012">{{cite book|author=Dennis G. Zill|title=A First Course in Differential Equations with Modeling Applications|url=https://books.google.com/books?id=pasKAAAAQBAJ&printsec=frontcover#v=snippet&q=%22ordinary%20differential%22&f=false|date=15 March 2012|publisher=Cengage Learning|isbn=1-285-40110-7}}</ref> Կիրառութիւններու մէջ գործառնութիւնները գլխաւորապէս կը ներկայացնեն ֆիզիքական մեծութիւններ, ածանցեալները կը ներկայացնեն փոփոխման արագութիւնը եւ տարբերական հաւասարումը կը սահմանէ երկուքին միջեւ յարաբերութիւնները։ Քանի որ այդպիսի յարաբերութիւնները չափազանց տարածուած են, այդ է պատճառը, որ տարբերական հաւասարումները կարեւոր դեր կը խաղան բազմաթիւ բնագաւառներուն մէջ՝ ներառեալ ճարտարագիտութիւն, ֆիզիքա, տնտեսագիտութիւն եւ կենսաբանութիւն: Տարբերական հաւասարման կարգ կը կոչուի տուեալ հաւասարման մէջ մասնակցող ածանցեալներու ամենաբարձր կարգը:
Տարբերական հաւասարումներու ուսումնասիրութիւնը գլխաւորապէս բաղկացած է ատոնց լուծումներու ուսումնասիրութիւնէն (հաւասարմանը բաւարարող գործառնութիւններու բազմութիւնը), եւ ատոնց լուծումներու յատկութիւնները։ Միայն պարզագոյն բանաձեւերն են լուծելի որոշակի բանաձեւերով։ Այնուամենայնիւ տուած հաւասարման լուծումներու շատ յատկութիւններ կարող են որոշուիլ, առանց ատոնք ճշգրիտ հաշուարկելու։
Եթէ լուծումներու համար վերջնական արտայայտութեան ձեւը անիրականալի է, ապա լուծումները կարող են թուային դարձնել կամ մօտեցնել համակարգիչներու օգնութեամբ։ Տինամիք համակարգերու տեսութիւնը շեշտը կը դնէ տարբերական հաւասարումներով նկարագրուած համակարգերու որակական վերլուծութեան վրայ, մինչդեռ մշակուեր են բազմաթիւ թուային մեթոտներ՝ տուեալ ճշգրտութեամբ լուծումներ գտնելու համար:
==Պատմութիւն==
Տարբերական հաւասարումները առաջին անգամ ի յայտ եկան Իսահակ Նիւթոնի եւ Լայպնից Գոթֆրիտ կողմէն հաշուարկներու կիրառման հետ։ Իր 1671 թուականին գրած «Methodus fluxionum et Serierum Infinitarum» բաժնի 2-րդ գլխուն մէջ Իսահակ Նիւթոնը թուարկեր է երեք տիպի Տարբերական հաւասարումներ։<ref>Newton, Isaac. (c.1671). Methodus Fluxionum et Serierum Infinitarum (The Method of Fluxions and Infinite Series), published in 1736 [Opuscula, 1744, Vol. I. p. 66].</ref>
:<math>
\begin{align}
& \frac {dy}{dx} = f(x) \\[5pt]
& \frac {dy}{dx} = f(x,y) \\[5pt]
& x_1 \frac {\partial y}{\partial x_1} + x_2 \frac {\partial y}{\partial x_2} = y
\end{align}
</math>
Այս բոլոր հաւասարումներուն մէջ, {{mvar|y}}-ը անյայտ գործառնութիւն է {{mvar|x}}-ից (կամ <math>x_1</math> և <math>x_2</math>-ից), իսկ {{mvar|f}}-ը տուած գործառնութիւն է։
Այս եւ այլ օրինակներ ան կը լուծէ օգտագործելով անվերջ շարքեր եւ քննարկում լուծումներու ոչ եզակիութիւնը։
1695 թուականին Պերնուլին առաջարկեց Պերնուլիի Տարբերական հաւասարումը։<ref>{{Citation | last1=Bernoulli | first1=Jacob | author1-link=Jacob Bernoulli | title=Explicationes, Annotationes & Additiones ad ea, quae in Actis sup. de Curva Elastica, Isochrona Paracentrica, & Velaria, hinc inde memorata, & paratim controversa legundur; ubi de Linea mediarum directionum, alliisque novis | year=1695 | journal=[[Acta Eruditorum]]}}</ref> Այն [[սովորական Տարբերական հաւասարում]] է՝
: <math>y'+ P(x)y = Q(x)y^n\,</math>
այն պարզեցնելով Լայպնիցը յաջորդ տարի գտաւ լուծումները։f<ref>{{Citation | last1=Hairer | first1=Ernst | last2=Nørsett | first2=Syvert Paul | last3=Wanner | first3=Gerhard | title=Solving ordinary differential equations I: Nonstiff problems | publisher=[[Springer-Verlag]] | location=Berlin, New York | isbn=978-3-540-56670-0 | year=1993}}</ref>
Պատմականօրէն, երաժշտական գործիքի թրթռացող լարի խնդիրը ուսումնասիրուեր է [[Ժան Լը Ռոն Դ'Ալամբեր|Ժան Լը Ռոն Դ’Ալամբերի]], [[Լեոնարդ Էյլեր|Լեոնարդ Էյլերի]], [[Դանիել Բեռնուլի|Դանիել Բեռնուլիի]] և [[Ժոզեֆ Լուի Լագրանժ|Ժոզեֆ Լուի Լագրանժի]] կողմէն։<ref>{{cite journal|url = http://homes.chass.utoronto.ca/~cfraser/vibration.pdf |title = Review of ''The evolution of dynamics, vibration theory from 1687 to 1742'', by John T. Cannon and Sigalia Dostrovsky|last= Frasier|first=Craig|journal=Bulletin (New Series) of the American Mathematical Society |date=July 1983 |volume= 9| issue = 1}}</ref><ref>{{cite journal |first=Gerard F. |last=Wheeler |first2=William P. |last2=Crummett |title=The Vibrating String Controversy |journal= [[American Journal of Physics|Am. J. Phys.]] |year=1987 |volume=55 |issue=1 |pages=33–37 |doi=10.1119/1.15311 |bibcode = 1987AmJPh..55...33W }}</ref><ref>For a special collection of the 9 groundbreaking papers by the three authors, see [http://www.lynge.com/item.php?bookid=38975&s_currency=EUR&c_sourcepage= First Appearance of the wave equation: D'Alembert, Leonhard Euler, Daniel Bernoulli. - the controversy about vibrating strings] (retrieved 13 Nov 2012). Herman HJ Lynge and Son.</ref><ref>For de Lagrange's contributions to the acoustic wave equation, can consult [https://books.google.com/books?id=D8GqhULfKfAC&pg=PA18 Acoustics: An Introduction to Its Physical Principles and Applications] Allan D. Pierce, Acoustical Soc of America, 1989; page 18.(retrieved 9 Dec 2012)</ref> 1746 թուականին, Տ'Ալամպերը յայտնաբերեց միաչափ ալիքային հաւասարումը, եւ տաս տարի անց Էյլերը յայտնաբերեց եռաչափ ալիքային հաւասարումը։<ref name=Speiser>Speiser, David. ''[https://books.google.com/books?id=9uf97reZZCUC&pg=PA191 Discovering the Principles of Mechanics 1600-1800]'', p. 191 (Basel: Birkhäuser, 2008).</ref>
Էյլեր-Լակրանժի բանաձեւը մշակուեր է 1750-ականներին Էյլերի եւ Լակրանժի կողմէն, երբ անոնք կ'ուսումնասիրէին (Tautochrone) զուգամանակութեան խնդիրը։ Սա այն կորի որոշումն է, որ կշռուած մասնիկը, անկախ սկզբնակէտէն, հաստատուած ժամանակահատուածի մէջ, հաստատուած կէտի մէջ կ'իյնայ։ Լակրանժը այս խնդիրը լուծեր է 1755 թուականին եւ լուծումը ուղարկեր Էյլերին։ Անոնք երկուքով հետագային զարգացուցին Լակրանժի մեթոտը եւ այն կիրառեցին մեքանագիտութեան (mechanics) մէջ, ինչը առաջ բերաւ եւ հասցուց Լակրանժեան մեքանագիտութեան ձեւակերպմանը։
1822 թուականին, Ֆուրիէն հրապարակեց ջերմութեան հոսքի վերաբերեալ իր աշխատանքը ''Théorie analytique de la chaleur'' (Ջերմութեան վերլուծական տեսութիւն),<ref>{{Cite book | last = Fourier | first = Joseph | title = Théorie analytique de la chaleur | publisher = Firmin Didot Père et Fils | year = 1822 | location = Paris | language = French | url=https://books.google.com/books?id= | oclc=2688081 }}</ref> որուն մէջ ան Նիւթոնի սառեցման օրէնքի իր հիմնաւորումը տուաւ, այն է, որ ջերմութեան հոսքը երկու յարակից մասնիկներու (molecules) միջեւ, համամասն է անոնց ջերմաստիճանի ծայրայեղ փոքր տարբերութեանը: Այս գիրքին մէջ ներառուած է ջերմութեան հաղորդիչ տարածումի (diffusion) համար Ֆուրիէի ջերմահաղորդակցութեան հաւասարման առաջադրանքը։ Այս մասնակի Տարբերական հաւասարումը այժմ կը դասաւանդուի մաթեմաթիքական ֆիզիքա ուսումնասիրող իւրաքանչիւր ուսանողի։
== Ծանօթագրութիւններ ==
| |||
