Մաթեմաթիկական ապացոյց

Մաթեմաթիկական ապացոյցը մաթեմաթիկական պնդման համար տրամաբանական փաստարկ է, որ ցուց կու տայ, որ նշուած դատողութիւնները տրամաբանօրէն կ'երաշխաւորեն եզրակացութիւնը: Փաստարկը կարելի է օգտագործել նախկին դուրս բերուած այլ պնդումներ, ինչպիսիք օրէնքներն են, սակայն իւրաքանչիւր ապացոյց սկզբունքօրէն, կարելի է կառուցուել՝ օգտագործելով միայն որոշ հիմնական կամ նախնական ենթադրութիւններ, որոնք յայտնի են որպէս աքսիոմներ,[2][3][4] մտահանգման ընդունելի կանոններով։ Ապացոյցները ողջամիտ ակնկալիքը հաստատող, սպառիչ (deductive) հիմնաւորման օրինակներ են, որոնք տրամաբանական որոշակիութիւն կը ստեղծեն, որոնք կը տարբերուին (empiric) փորձական փաստարկներէն կամ ոչ սպառիչ մակածութիւնը (induction) պատճառաբանութիւնէն։ Չհաստատուած ենթադրութիւնը, որու վերաբերեալ կարծիք կայ, որ ճիշտ է, յայտնի է որպէս վարկած, կամ ենթադրութիւն (hypothesis), հետագայ մաթեմաթիկական մտահանգումներու համար, յաճախ կ'օգտագործուի որպէս ենթադրութիւն[5]։

P. Oxy. 29, Հազարամեակներու օգտագործուող Էւկլիտեան Տարրեր, դասագիրքի պահպանուած մի ֆրակմենթ։[1]


Ապացոյցները, բնական լեզուի հետ մէկտեղ, որոնք սովորաբար երկիմաստութիւն կը պարունակեն, կ'օգտագործեն որոշակի տրամաբանութիւն արտայայտող մաթեմաթիկական սիմվոլներ։ Ապացոյցներու տեսութեան մէջ կը դիտարկուին առանց բնական լեզուի օգտագործման, սիմվոլիկ լեզուով գրուած, լիովին ֆորմալ ապացոյցները։ Ֆորմալ եւ ոչ ֆորմալ ապացոյցներու տարբերութիւնը բերած է ընթացիկ եւ պատմական մաթեմաթիկական փորձառութեան քննութեան՝ քվազի-էմփիքրիզմին մաթեմաթիկայի մէջ, եւ այսպէս կոչուած ժողովրդական մաթեմաթիկային, հիմնական մաթեմաթիկան հանրութեան եւ այլ մշակոյթներու մէջ բանաւոր աւանդոյթներուն։ Մաթեմատիկայի փիլիսոփայությունը կապուած է ապացույցներու մէջ լեզուի եւ տրամաբանութեան դերին եւ մաթեմաթիկային որպէս լեզու։


Պատմութիւն եւ ստուգաբանութիւնԽմբագրել

Տե՛ս նաեւ՝ History of logic «Վստահութիւն» իրաւական թերմինը կը նշանակէ հեղինակութիւն կամ հաւաստիութիւն՝ փաստեր ապացուցելու համար, հեղինակութիւն կամ կարգավիճակ ունեցող անձանց կողմէն տրուած վկայութեան ուժ:[6]

Խիստ մաթեմաթիկական ապացոյցներուն նախորդեր են նմանութեան փաստարկները, ինչպիսիք են նկարները եւ նմանները (analogic)։[7] Հաւանաբար, եզրակացութեան գաղափարը առաջացեր է երկրաչափութեան հետ կապուած, որ ծագեր է հողերու չափման գործնական խնդիրներէն։[8]Մաթեմաթիկական ապացոյցի զարգացումը առաջին հերթին հին յունական մաթեմաթիկայի արգասիքն է եւ անոր ամենամեծ նուաճումներէն մէկը։[9]Թալեսը (Ք.Ա. 624–546) եւ Հիփոքրաթ Քիոսը (Hippocrates of Chios) (Ք.Ա. 470–410) տուին երկրաչափութեան օրէնքներու առաջին յայտնի ապացոյցները: Եւտոքսը (Ք.Ա. 408–355) եւ Թեետետոսը (Ք.Ա.. 417–369) ձեւակերպեր են օրէնքներ, բայց ատոնք չեն ապացուցեր: Արիսթոթելը (Ք.Ա. 384–322) կ'ըսէր, որ սահմանումները պէտք է նկարագրեն հասկացութիւնը, որ կը սահմանէ արդէն յայտնի միւս հասկացութիւններու միջոցով:

Մաթեմաթիկական ապացոյցը յեղփոխականացուեցաւ Էվկլիդեսի կողմից (Ք.Ա․300), որ մտցուց աքսիոմաթիկ մեթոտ, որ մինչեւ այսօր կ'օգտագործուի։ Այն կը սկսի չսահմանուած հասկացութիւններէն եւ աքսիոմներէն, կ'ենթադրուի որ չսահմանուած թերմինները ինքնին ակնյայտ է որ ճիշտ են (յունարէն "axios", ինչ որ արժէքաւոր բան)։ Այս հիմքի վրայ մեթոտը օրէնքները կ'ապացուցէ օգտագործելով deductive նուացեցման տրամաբանութիւն։ Էւկլիտեսի Տարրեր գիրքը մինչեւ 20-րդ դար կը կարդար իւրաքանչիւրը, որ կը համարուէր կրթուած։[10] Ի յաւելումն երկրաչափական օրէնքներու, ինչպիսին Փիւթակորի օրէնքն է, Տարրերը նաեւ կը ծածկէր թիւերու տեսութիւնը, ներառեալ, որ քառակուսի արմատ երկուքէն իռացիոնալ է եւ ապացոյցը այն բանի որ պարզ թիւերու քանակը անվերջ է։

Հետագայ առաջընթացներ տեղի ունեցան միջնադարեան իսլամական մաթեմաթիկայի մէջ։ Մինչ վաղ յունական ապացոյցները հիմնականին կը կրէին երկրաչափական ցուցադրութիւններ, մահմետական մաթեմաթիկոսներու կողմէն թուաբանութեան եւ հանրահաշուի զարգացումը աւելի ընդհանուր ապացոյցներ կ'օգտագործէին, անկախ երկրաչափական մտատեսութիւնէն (intuition)։ 10-րդ դարու Իրաքեան մաթեմաթիկոս Al-Hashimi-ն թիւերու հետ կ'աշխատէր որպէս շարքեր եւ հանրահաշուական գործողութիւններ պարունակող առաջադրանքները, ներառեալ անտրամաբանական թիւերու գոյութիւնը, ապացուցելու համար, անպայման չէ երկրաչափական առարկաներու չափումներ կատարել։[11]Ալ-Ֆաղրիում (1000) Ալ-Քարաճին մակածութեան (induction) մեթոտը օգտագործեց թուաբանական յառաջատուութեան համար։ Ան այն օգտագործեց նաեւ (binomial theorem) երկրաբաշխական օրէնքը ապացուցելու եւ Փասքալի եռանկեան յատկութիւններու համար։ Ալ հազենը ապուցուցման եղանակները զարգացուց "հակառակ ենթադրութիւնէն ապացոյցով", որպէս առաջին փորձ կիրառելով այն եւկլիտեան (Euclidian) երկրաչափութեան զուգահեռութեան յառաջադրութիւնը կամ ենթադրութիւնը (postulate) ապացուցելու համար։[12]

Ժամանակակից ապացուցներու տեսութիւնը ապացոյցները կը դիտարկէ որպէս մակածութեան (induction) սահմանուած տուեալներու կառուցուածք, որոնք չեն պահանջեր աքսիոմներու ճշմարիտ լինելը որեւէ իմաստով։ Այս թոյլ կու տայ զուգահեռ օգտագործել զուգահեռ մաթեմաթիկական տեսութիւններ որպէս տուած մտատեսութիւն (intuition) հասկացութեան ֆորմալ մոտելներ, որոնք հիմնուած են աքսիոմաներու (alternative) փոխընտրութիւն բազմութեան վրայ, օրինակ, բազմութիւններու աքսիոմաթիկ տեսութիւն եւ Ոչ-եւկլիտեան (Euclidian) երկրաչափութիւն։

Էութիւն եւ նպատակԽմբագրել

Գործնականի ապացոյցը կ'արտայայտուի բնական լեզուով եւ պնդման ճշմարտութեան մէջ համոզելու համար խիստ փաստարկ է։ Խստութեան չափանիշը standard չէ եւ պատմութեան ընթացքին փոփոխութիւններու ենթարկուեր է։ Կախուած ենթադրուող լսարանէն ապացոյց տարբեր կերպ կարող է ներկայացուիլ։ Որպէսզի լսարանի կողմէն ապացոյցն ընդունուի, այն պէտք է համապատասխանէ խստութեան ընդունուած չափանիշներուն, անորոշ կամ ոչ լրիւ փաստարկները հնարաւոր է մերժուին։

Ապացոյց հասկացութիւնը ձեւաւորուեր է մաթեմաթիկական տրամաբանութեան ոլորտի մէջ։ [13]Ֆորմալ ապացոյցը կը գրուի ֆորմալ լեզուով։ Ֆորմալ ապացոյցը այդ ֆորմալ լեզուով գրուած բանաձեւերու յաջորդականութիւն է, որ կը սկսի ենթադրութիւնէն, եւ իւրաքանչիւր յաջորդ բանաձեւը նախորդներու տրամաբանական հետեւութիւնն է։ Այս սահմանումը ապացոյցը կը դարձնէ ուսումնասիրութեան առարկայ: Իսկապէս, ապացոյցներու տեսութեան ոլորտը կ'ուսումնասիրէէ ձեւական ապացոյցները եւ ատոնց յատկութիւնները, որոնցմէ ամենայայտնի եւ զարմանալին այն է, որ համարեայ բոլոր աքսիոմաթիք համակարգերը կարող են առաջացնել որոշակի չհիմնաւորուած պնդումներ, որոնք համակարգէն ներս ապացուցելի չեն:

Ֆորմալ ապացոյցի սահմանումը նպատակ ունի ընդգրկել ապացոյցներու հայեցակարգը այնպէս, ինչպէս ընդունուած է մաթեմաթիքայի (practice) կիռարութեան մէջ: Այս սահմանման հիմնաւորումը կ'ենթադրէ, որ հրապարակուած ապացոյցը սկզբունքօրէն կարող է վերաձեւակերպուիլ ֆորմալ ապացոյցի։ Սակայն բացի ինքնագործ (automatic) ապացոյցի օգնականի կիրառումէն, այս (practice) կիռարութիւնը հազուադէպ կը հանդիպի։ Փիլիսոփայութեան դասական հարցն է՝ մաթեմաթիկական ապացոյցները արդեօք վերլուծական են, թէ (synthetic) համադրական կամ բաղադրական , Քանթը, որ մտցուց վերլուծական-համադրական (analytic)-(synthetic) տարբերութիւնը, կը կարծէր, որ մաթեմաթիկական ապացոյցները (synthetic) համադրական են, մինչդեռ Քուէնը 1951 թուականին իր «Էմփիրիզմի երկու տոկմա» աշխատութեան մէջ կը պնդէր, որ այդպիսի տարբերակումը անթոյլատրելի է։[14]

Ապացոյցները կարող են հիացնել իրենց մաթեմաթիկական գեղեցկութեամբ։ Մաթեմաթիկոս Փոլ Էրտիոսը յայտնի էր յատկապես էլեկանթ ապացոյցները նկարագրելու համար, որ կը վերցնէր վարկածական կամ ենթադրական (hypothetic) "The Book" հատորէն, որ իւրաքանչիւր օրէնքի (theorem) ամենագեղեցիկ ապացոյցը կը պարունակէր։ Proofs from THE BOOK գիրքը, հրապարակուերէ 2003 թուականին եւ նուիրուած է 32 ապացոյցներու ներկայացմանը, որոնք անոնց խմբագիրները յատկապես գեղեցիկ կը համարեն:

ՄեթոդներԽմբագրել

Ուղիղ ապացույցԽմբագրել

Ուղիղ ապացոյցի մէջ եզրակացութիւնը դուրս կը բերէ տրամաբանօրէն զուգակցելով աքսիոմները, սահմանումները եւ վաղ օրէնքները։[15] Օրինակ, ուղիղ ապացոյցը կարող է օգտագործուիլ ապացուցելու որ երկու զոյգ թիւերու գումարը միշտ զոյգ է։

Ենթադրենք x եւ y զոյգ թիւեր են։ Քանի որ անոնք զոյգ են, ապա կարող են ներկայացուիլ x = 2a եւ y = 2b, ուր a եւ b ամբողջ թիւեր են։ Ուստի x + y = 2a + 2b = 2(a+b). Այսպիսով x+y ունի 2 գործակից եւ ըստ սահմանման զոյգ է։ Հետեւաբար երկու զոյգ թիւերու գումարը զոյգ է։ Այս ապացոյցը կ'օգտագործէ զոյգ թիւերու սահմանումը, գումարման, բազմապատկման եւ բաշխելիութեան նկատմամբ ամբողջ թիւերու բազմութեան փակ ըլլալը։

Ապացոյց մաթեմաթիկական մակածութեանի (induction) միջոցովԽմբագրել

Հիմնական յօդուած՝ Մաթեմաթիկական մակածութիւն (induction)

Հակառակ անուանումին, մաթեմաթիկական մակածութիւնը (induction) deduction մեթոտ է, ոչ թէ մակածութեան (induction) մտահանգման ձեւ։ Մաթեմաթիկական մակածութեանի (induction) միջոցով կ'ապացուցուին "եզակի դէպքը" կ'ապացուցուի եւ "մակածութեան (induction) կանոնը", որ կը հաստատէ իւրաքանչիւր պատահական դէպքի իրաւացիութիւնը կ'ենթադրէ յաջորդի իրաւացիութիւնը։ Քանի որ մակածութեան (induction) կանոնը կարելի է կիրառել բազմակի, ուստի բոլոր անվերջ դէպքերը ապացուցելի են։[16] Այսպէսով կը խուսափինք իւրաքանչիւր դէպքն առանձին ապացուցելու անհրաժեշտութիւնէն։ Մաթեմաթիկական մակածութեան (induction) տարբերակ է անվերջ նուազման եղանակով ապացոյցը, որ կարող է օգտագործուիլ, օրինակ, երկուքի քառակուսի արմատի (irrationalism) անտրամաբանական տեսութիւնը ապացուցելու համար։[5]

Մաթեմաթիկական մակածութեան (induction) միջոցով ապացոյցի յաճախ հանդիպող կիրառումը այն է՝ ապացուցել, որեւէ բնական թիւի համար յայտնի որեւէ յատկութիւն, ճշմարիտ է նաեւ բոլոր բնական թիւերու համար։ Թիւի մը ։[17] Ենթադրենք N = {1,2,3,4,...} բնական թիւերու բազմութիւն է, եւ P(n) մաթեմաթիկական կը պնդէ, որ տեղի ունի n բնական թիւի համար N բազմութիւնէն, այնպէս որ such that

  • (i) P(1) ճիշտ է, այսինքն, P(n) ճիշտ է n = 1-ի համար։
  • (ii) P(n+1) ճիշտ է, երբ P(n) ճիշտ է, այսինքն, P(n) ճիշտ ըլլալէն հետեւութիւն կ'ընենք, որ P(n+1) ճիշտ է։
  • Ապա P(n) ճիշտ է բոլոր բնական թիւերու համար n։

Օրինակ, մենք մակածութիւնով (induction) կարող ենք ապացուցել, որ 2n − 1 տեսքի բոլոր դրական ամբողջ թիւերը կենտ են։

Ենթադրենք P(n) կը ներկայացուի այս տեսքով "2n − 1 կենտ է":
(i) n = 1-ի համար, 2n − 1 = 2(1) − 1 = 1, և 1 կենտ է, քանի որ այն 2-ի բաժանելով 1 մնացորդ կու տայ։ Այսպիսով P(1)-ը ճիշտ է։
(ii) ցանկացած n-ի համար, եթե 2n − 1-ը կենտ է (P(n)), ապա (2n − 1) + 2 նոյնպէս պետք է կենտ ըլլայ, կենտ թիւին 2 գումարելով, կը ստանանք կենտ թիւ։ Սակայն (2n − 1) + 2 = 2n + 1 = 2(n+1) − 1, ուստի 2(n+1) − 1 կենտ է (P(n+1)). So P(n) implies P(n+1).
Այսպիսով 2n − 1-ը կենտ է բոլոր n դրական ամբողջ թիւերու համար։

Յաճախ "մաթեմաթիկական մակածութեանի (induction) միջոցով ապացոյց" արտայայտութեան փոխարէն կ'օգտագործուի աւելի կարճ "մակածութեանի միջոցով ապացոյց" արտայայտութիւնը։[18]

ԾանօթագրութիւններԽմբագրել

  1. Bill Casselman։ «One of the Oldest Extant Diagrams from Euclid»։ University of British Columbia։ արտագրուած է՝ September 26, 2008 
  2. Clapham, C. & Nicholson, JN.։ The Concise Oxford Dictionary of Mathematics, Fourth edition։ «A statement whose truth is either to be taken as self-evident or to be assumed. Certain areas of mathematics involve choosing a set of axioms and discovering what results can be derived from them, providing proofs for the theorems that are obtained.» 
  3. Cupillari Antonella (2005) [2001]։ The Nuts and Bolts of Proofs: An Introduction to Mathematical Proofs (Third հրտրկթն․)։ Academic Press։ էջ 3։ ISBN 978-0-12-088509-1 
  4. Gossett Eric (July 2009)։ Discrete Mathematics with Proof։ John Wiley & Sons։ էջ 86։ ISBN 978-0470457931։ «Definition 3.1. Proof: An Informal Definition» 
  5. 5,0 5,1 «The Definitive Glossary of Higher Mathematical Jargon»։ Math Vault (en-US)։ 2019-08-01։ արտագրուած է՝ 2019-10-20 
  6. Hacking Ian (1984) [1975]։ The Emergence of Probability: A Philosophical Study of Early Ideas about Probability, Induction and Statistical Inference։ Cambridge University Press։ ISBN 978-0-521-31803-7 
  7. The History and Concept of Mathematical Proof, Steven G. Krantz. 1. February 5, 2007
  8. Kneale William, Kneale Martha (May 1985) [1962]։ The development of logic (New հրտրկթն․)։ Oxford University Press։ էջ 3։ ISBN 978-0-19-824773-9 
  9. Moutsios-Rentzos Andreas, Spyrou Panagiotis (February 2015)։ «The genesis of proof in ancient Greece The pedagogical implications of a Husserlian reading»։ Archive ouverte HAL։ արտագրուած է՝ October 20, 2019 
  10. Eves Howard W. (January 1990) [1962]։ An Introduction to the History of Mathematics (Saunders Series) (6th հրտրկթն․)։ Brooks/Cole։ էջ 141։ ISBN 978-0030295584։ «No work, except The Bible, has been more widely used...» 
  11. Matvievskaya, Galina (1987), «The Theory of Quadratic Irrationals in Medieval Oriental Mathematics», Annals of the New York Academy of Sciences 500 (1): 253–77 [260], doi:10.1111/j.1749-6632.1987.tb37206.x 
  12. Eder, Michelle (2000), Views of Euclid's Parallel Postulate in Ancient Greece and in Medieval Islam, Rutgers University, http://www.math.rutgers.edu/~cherlin/History/Papers2000/eder.html, վերցված է January 23, 2008 
  13. Buss, Samuel R. (1998), «An introduction to proof theory», in Buss, Samuel R., Handbook of Proof Theory, Studies in Logic and the Foundations of Mathematics, 137, Elsevier, pp. 1–78, ISBN 978-0-08-053318-6 . See in particular p. 3: "The study of Proof Theory is traditionally motivated by the problem of formalizing mathematical proofs; the original formulation of first-order logic by Frege [1879] was the first successful step in this direction."
  14. Quine Willard Van Orman (1961)։ «Two Dogmas of Empiricism»։ Universität Zürich — Theologische Fakultät։ էջ 12։ արտագրուած է՝ October 20, 2019 
  15. Cupillari, p. 20.
  16. Cupillari, p. 46.
  17. Examples of simple proofs by mathematical induction for all natural numbers
  18. Proof by induction Archived February 18, 2012, at the Wayback Machine., University of Warwick Glossary of Mathematical Terminology