Աքիղեւսի թիւ

Աքիլեւսի թիւ, որեւէ ամբողջ թիւի ամբողջ աստիճան չհանդիսացող բնական թիւ մըն է, որ նաեւ կը բաժանուէ իր պարզ բաժանարարներէն իւրաքանչիւրի քառակուսիին վրայ:

Այլ կերպ ըսելով, n բնական թիւը Աքիլեւսի թիւ կը հանդիսանայ, եթէ կրնան տեղի ունենալ հետեւեալ երկու պայմանները՝

1. n-ը կը բաժնուի իր բոլոր պարզ բաժանարարներու քառակուսիներու վրայ, այսինքն, եթե n-ը բաժնուի p պարզ թիւին վրայ, ապա անիկա պէտք է բաժնուի նաեւ p²-ին վրայ,
2. n-ը պէտք չէ հանդիսանայ որեւէ ամբողջ թիւի ամբողջական աստիճան, այսինքն, գոյութիւն չունին այնպիսի m > 1 եւ k > 1 ամբողջ թիւեր, որոնց պարագային m^k = n։

Աքիլեւսի թիւերն իրենց անունն ստացած են Տրոյական պատերազմի հերոս Աքիլեւսէն, որ հզօր էր, բայց ոչ՝ կատարեալ։

Աքիլեւսի Թիւերու Յաջորդականութիւնը

n = p₁^a₁p₂^a₂…p_k^a_k թիւը Աքիլեւսի թիւ է, եթէ min(a₁, a₂, …, a_k) ≥ 2 եւ gcd(a₁, a₂, …, a_k) = 1։

Մինչեւ 5000-ը Աքիլեւսի թիւերու յաջորդականութիւնը՝

72, 108, 200, 288, 392, 432, 500, 648, 675, 800, 864, 968, 972, 1125, 1152, 1323, 1352, 1372, 1568, 1800, 1944, 2000, 2312, 2592, 2700, 2888, 3087, 3200, 3267, 3456, 3528, 3872, 3888, 4000, 4232, 4500, 4563, 4608, 5000 (A052486-ի հաջորդականությունը OEIS-ում)։

Աքիլեւսի թիւերու յաջորդականութեան ամենափոքր իրար յաջորդող անդամներն են՝

5425069447 = 7³ × 41² × 97²

5425069448 = 2³ × 26041²

Օրինակներ

108-ը պարզ արտադրիչներու վերլուծելու արդիւնքին կը ստացուի, որ 108 = 2² · 3³։ 2 եւ 3 պարզ թիւերու քառակուսիները՝ 2² = 4-ը եւ 3² = 9-ը, 108-ի բաժանելիներ են։ Քանի որ 108-ը հնարաւոր չէ ներկայացուցեր m^k տեսքով, ուր m-ը եւ k-ն 1-էն մեծ ամբողջ թիւեր են, ուրեմն 108-ը Աքիլեւսի թիւ է։

Այլ օրինակ մը եւս. 784-ը Աքիլեւսի թիւ չէ։ Ճիշդ է, անոր երկու պարզ բաժանարարներու՝ 2-ի եւ 7-ի քառակուսիները՝ 2² = 4-ը եւ 7² = 49-ը, 784-ի բաժանարարներ են, բայց 784-ը ամբողջ թիւի աստիճան է։ Ատիկա կրնայ պարզուիլ որոշակի թուաբանագիտական գործողութեանց՝

$784=2^{4}\cdot 7^{2}=(2^{2})^{2}\cdot 7^{2}=(2^{2}\cdot 7)^{2}=28^{2}\,$

Այսպիսով, 784-ը Աքիլեւսի թիւ չէ։